Lineare Funktionen

Zwei Abos, eine Entscheidung

Aber ab wie vielen Stunden dreht sich das? Von Hand nachrechnen kannst du das für jede einzelne Stundenzahl einzeln — es geht aber auch systematisch, mit einer linearen Funktion.

Was ist eine lineare Funktion

Egal wie die Zahlen im Einzelnen aussehen — Formeln wie die der beiden Abos lassen sich immer in derselben Form schreiben:

Der Graph einer solchen Funktion ist immer eine Gerade — daher der Name.

Steigung und Achsenabschnitt erleben

Am besten verstehst du m und b, indem du selbst daran drehst.

Die Steigung berechnen

Hast du zwei Punkte auf einer Geraden, lässt sich m direkt ausrechnen:

So sieht das an zwei konkreten Punkten aus:

Von P₁ nach P₂ geht es 3 nach rechts (x₂ − x₁ = 4 − 1 = 3) und 6 nach oben (y₂ − y₁ = 8 − 2 = 6): m = 6 / 3 = 2. Das gelbe Dreieck an der y-Achse zeigt dieselbe Steigung noch einmal mit anderen Zahlen (4 hoch, 2 weiter, ergibt ebenfalls 2) — auf einer Geraden ist das Verhältnis überall dasselbe, egal welche zwei Punkte du wählst.

Nicht jede lineare Funktion hat eine Grundgebühr. Läuft ein Download mit konstant 20 MB pro Sekunde, sind nach x Sekunden y = 20x Megabyte angekommen — ganz ohne festen Anteil.

Vom Streckenschild zum Winkel

Steigung wird im Alltag oft in Prozent angegeben, nicht als Dezimalzahl — auf Straßenschildern, bei Rampen, auf Skipisten. Und Prozent lässt sich in einen Winkel umrechnen.

Der Zusammenhang ist genau die Steigung m, nur mit einem anderen Namen: 12 % Steigung heißt m = 0,12 (12 „hoch" pro 100 „weiter"). Im Steigungsdreieck ist das Verhältnis von Höhe zu Länge — und genau das ist die Definition des Tangens eines Winkels.

Der Winkel zwischen zwei Geraden

Mit demselben Werkzeug lässt sich auch der Winkel zwischen zwei Geraden bestimmen: Du berechnest einfach den Winkel jeder einzelnen Geraden zur x-Achse — und bildest die Differenz.

Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden

Ein Funkmast soll möglichst nah an einer Bahnstrecke gebaut werden, aber mit Sicherheitsabstand. Die Bahnstrecke verläuft als Gerade, der mögliche Standort ist ein Punkt daneben — gesucht ist der kürzeste Abstand zwischen beiden. Der kürzeste Weg von einem Punkt zu einer Geraden steht immer senkrecht auf ihr, nicht schräg.

Diesen senkrechten Wert direkt zu berechnen ist unhandlich. Einfacher ist der Umweg über den vertikalen Abstand — wie weit der Punkt bei gleichem x über oder unter dem Graphen liegt:

vertikaler Abstand = |y₀ − (m·x₀ + b)|

Erinnerst du dich an das Steigungsdreieck? Für einen Lauf von genau 1 ist seine Hypotenuse — die schräge Seite — genau √(1 + m²) lang. Um vom vertikalen zum tatsächlichen, senkrechten Abstand zu kommen, teilst du durch genau diesen Wert:

Abstand zwischen zwei parallelen Geraden

Zwei parallele Geraden haben überall denselben Abstand zueinander — sie laufen nebeneinander her, ohne sich je zu nähern oder zu entfernen. Genau das macht die Rechnung einfach: Du brauchst nur einen Punkt auf der einen Geraden und misst seinen Abstand zur anderen — mit der Formel von eben.

Am einfachsten nimmst du den y-Achsenabschnitt der ersten Geraden als Punkt, also (0, b₁):

Übungen

Zurück zu den Gaming-Abos

Jetzt hast du alle Werkzeuge, um die Eingangsfrage zu klären: Ab wann lohnt sich GameStream Plus? Grafisch ist die Antwort der Punkt, an dem sich die beiden Geraden schneiden — dort kosten beide Abos gleich viel. Rechnerisch findest du diesen Punkt, indem du beide Formeln gleichsetzt, weil dort ja y bei beiden denselben Wert hat:

Das Gleichsetzen zweier Formeln wie hier heißt lineares Gleichungssystem — dazu kommt später ein eigenes Kapitel mit weiteren Lösungswegen. Das Verfahren von eben (Gleichsetzungsverfahren) kannst du aber schon jetzt auf jedes Paar linearer Funktionen anwenden.